归并排序

算法思路

归并排序（merge sort）是一种基于分治策略的排序算法，包含下图所示的“划分”和“合并”阶段。
1.划分阶段：通过递归不断地将数组从中点处分开，将长数组的排序问题转换为短数组的排序问题。
2.合并阶段：当子数组长度为 1 时终止划分，开始合并，持续地将左右两个较短的有序数组合并为一个较长的有序数组，直至结束。
merge_sort_overview.png

“划分阶段”从顶至底递归地将数组从中点切分为两个子数组。

  1. 计算数组中点 mid ，递归划分左子数组（区间 [left, mid] ）和右子数组（区间 [mid + 1, right] ）。
  2. 递归执行步骤 1. ，直至子数组区间长度为 1 时终止。

“合并阶段”从底至顶地将左子数组和右子数组合并为一个有序数组。需要注意的是，从长度为 1 的子数组开始合并，合并阶段中的每个子数组都是有序的。

归并排序与二叉树后序遍历的递归顺序是一致的。

  • 后序遍历：先递归左子树，再递归右子树，最后处理根节点。
  • 归并排序：先递归左子数组，再递归右子数组，最后处理合并。

动画演示

mergeSort.gif

算法特性

  • 时间复杂度为 O(nlog⁡n)、非自适应排序：划分产生高度为 log⁡n 的递归树，每层合并的总操作数量为 n ，因此总体时间复杂度为 O(nlog⁡n) 。
  • 空间复杂度为 O(n)、非原地排序：递归深度为 log⁡n ，使用 O(log⁡n) 大小的栈帧空间。合并操作需要借助辅助数组实现，使用 O(n) 大小的额外空间。
  • 稳定排序：在合并过程中，相等元素的次序保持不变。

代码实现

C++

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/* 合并左子数组和右子数组 */
void merge(vector<int> &nums, int left, int mid, int right) {
    // 左子数组区间为 [left, mid], 右子数组区间为 [mid+1, right]
    // 创建一个临时数组 tmp ，用于存放合并后的结果
    vector<int> tmp(right - left + 1);
    // 初始化左子数组和右子数组的起始索引
    int i = left, j = mid + 1, k = 0;
    // 当左右子数组都还有元素时，进行比较并将较小的元素复制到临时数组中
    while (i <= mid && j <= right) {
        if (nums[i] <= nums[j])
            tmp[k++] = nums[i++];
        else
            tmp[k++] = nums[j++];
    }
    // 将左子数组和右子数组的剩余元素复制到临时数组中
    while (i <= mid) {
        tmp[k++] = nums[i++];
    }
    while (j <= right) {
        tmp[k++] = nums[j++];
    }
    // 将临时数组 tmp 中的元素复制回原数组 nums 的对应区间
    for (k = 0; k < tmp.size(); k++) {
        nums[left + k] = tmp[k];
    }
}

/* 归并排序 */
void mergeSort(vector<int> &nums, int left, int right) {
    // 终止条件
    if (left >= right)
        return; // 当子数组长度为 1 时终止递归
    // 划分阶段
    int mid = left + (right - left) / 2;    // 计算中点
    mergeSort(nums, left, mid);      // 递归左子数组
    mergeSort(nums, mid + 1, right); // 递归右子数组
    // 合并阶段
    merge(nums, left, mid, right);
}

Python

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def merge(nums: list[int], left: int, mid: int, right: int):
    """合并左子数组和右子数组"""
    # 左子数组区间为 [left, mid], 右子数组区间为 [mid+1, right]
    # 创建一个临时数组 tmp ，用于存放合并后的结果
    tmp = [0] * (right - left + 1)
    # 初始化左子数组和右子数组的起始索引
    i, j, k = left, mid + 1, 0
    # 当左右子数组都还有元素时，进行比较并将较小的元素复制到临时数组中
    while i <= mid and j <= right:
        if nums[i] <= nums[j]:
            tmp[k] = nums[i]
            i += 1
        else:
            tmp[k] = nums[j]
            j += 1
        k += 1
    # 将左子数组和右子数组的剩余元素复制到临时数组中
    while i <= mid:
        tmp[k] = nums[i]
        i += 1
        k += 1
    while j <= right:
        tmp[k] = nums[j]
        j += 1
        k += 1
    # 将临时数组 tmp 中的元素复制回原数组 nums 的对应区间
    for k in range(0, len(tmp)):
        nums[left + k] = tmp[k]

def merge_sort(nums: list[int], left: int, right: int):
    """归并排序"""
    # 终止条件
    if left >= right:
        return  # 当子数组长度为 1 时终止递归
    # 划分阶段
    mid = (left + right) // 2 # 计算中点
    merge_sort(nums, left, mid)  # 递归左子数组
    merge_sort(nums, mid + 1, right)  # 递归右子数组
    # 合并阶段
    merge(nums, left, mid, right)

Java

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/* 合并左子数组和右子数组 */
void merge(int[] nums, int left, int mid, int right) {
    // 左子数组区间为 [left, mid], 右子数组区间为 [mid+1, right]
    // 创建一个临时数组 tmp ，用于存放合并后的结果
    int[] tmp = new int[right - left + 1];
    // 初始化左子数组和右子数组的起始索引
    int i = left, j = mid + 1, k = 0;
    // 当左右子数组都还有元素时，进行比较并将较小的元素复制到临时数组中
    while (i <= mid && j <= right) {
        if (nums[i] <= nums[j])
            tmp[k++] = nums[i++];
        else
            tmp[k++] = nums[j++];
    }
    // 将左子数组和右子数组的剩余元素复制到临时数组中
    while (i <= mid) {
        tmp[k++] = nums[i++];
    }
    while (j <= right) {
        tmp[k++] = nums[j++];
    }
    // 将临时数组 tmp 中的元素复制回原数组 nums 的对应区间
    for (k = 0; k < tmp.length; k++) {
        nums[left + k] = tmp[k];
    }
}

/* 归并排序 */
void mergeSort(int[] nums, int left, int right) {
    // 终止条件
    if (left >= right)
        return; // 当子数组长度为 1 时终止递归
    // 划分阶段
    int mid = left + (right - left) / 2; // 计算中点
    mergeSort(nums, left, mid); // 递归左子数组
    mergeSort(nums, mid + 1, right); // 递归右子数组
    // 合并阶段
    merge(nums, left, mid, right);
}